最近在看信号处理相关的书，看着看着，发现怎么看怎么像线性代数，于是记录下我能想到的对比。
不得不说，这种可以把知识连成网的体验真不错，学起来事半功倍。
博主不是相关方向的研究生，如果有书籍欢迎推荐给博主。
这篇文章偏向一些有限维的直观理解，不打算引入更为抽象的无限维(主要是博主理解不能)。
信号的向量表示
把某个离散信号 $x[n],\ n \in [1,m]$ 看为 $m$ 维的向量 $\vec{v_x}$
单位脉冲和基向量
单位脉冲(unit impulse)
基(basis)
A basis of $V$ is a list of vectors in $V$ that is linearly independent and
spans $V$ . For example,
线性系统与线性变换
线性系统(linear system)
令 $y_1(t)$ 是一个连续时间系统对输入 $x_1(t)$ 的响应，而 $y_2(t)$ 是对应于输入 $x_2(t)$ 的输出，那么一个线性系统有:
- 可加性(additivity)
$$ y_1(t) + y_2(t)\ 是对\ x_1(t) + x_2(t)\ 的响应 $$ - 齐次性(homogeneity)
$$ ay_1(t)\ 是对\ ax_1(t)\ 的响应，此处 a 为任意复常数 $$
线性变换(linear map)
A linear map from $V$ to $W$ is a function $T : V → W$ with the following
properties:
- 可加性(additivity)
$$ T (u + v) = T u + T v,\ for\ all\ u, v ∈ V $$ - 齐次性(homogeneity)
$$ T (av) = a(T v),\ for\ all\ a ∈ F\ and\ all\ v ∈ V $$
卷积和与矩阵乘法
卷积和(convolution sum)
对于信号$x[n]$，可以把其表示为由一个序列和一串位移单位脉冲的线性组合
$$ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \delta[n-k] $$$h_k[n]$ 对应位移单位脉冲 $\delta[n-k]$ 的响应，$y[n]$ 对应 $x[n]$ 的响应，由于线性系统的性质，线性组合的叠加有
$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h_k[n] $$如果系统同时是时不变 (time invariant) 的，则有
$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] h[n-k] $$$$ h_k[n] \rightarrow h[n-k] $$矩阵乘法(matrix multiplication)
$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1m}x_m \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2m}x_m \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nm}x_m \end{bmatrix} $$卷积和的矩阵表示
我们假设离散信号的范围是 $n \in [1, m]$ ，且为时不变
这里的最后一步假设了 $h[-1] = 0$，这要求系统是因果的(causal)，$h[n-k] = 0\ when\ k > n$。
同理，对 $\vec{x[n]}$ 的单位脉冲的线性组合的公式可以表示为
$$ \vec{x[n]} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x[1] \\ x[2] \\ \vdots \\ x[m] \\ \end{bmatrix} $$左边是位移单位脉冲 $\delta[n-k]$ 组成的单位矩阵。
特征函数与特征向量
特征函数(eigenfunction)
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数。
同时幅度因子称为系统的特征值。
特征向量(eigenvectors)
A scalar $λ ∈ F$ is called an eigenvalue of $T ∈ L(V)$ if there exists a nonzero vector $u ∈ V$ such that $Tu = λu$.
Suppose $T ∈ L(V)$ and $λ ∈ F$ is an eigenvalue of $T$ . A vector $u ∈ V$ is called an eigenvector of $T$ (corresponding to $λ$) if $Tu = λu$.
复指数信号为特征函数的向量表示
信号分析中最重要的基础，一个线性时不变系统对复指数信号的响应也同样是一个复指数信号。
即复指数是线性时不变系统的特征函数。
这个结论只在无限维的情况下成立，向量化的解释更偏向泛函，属于博主的知识盲区